Достать

1. надоесть до предела, заколебать, достебаться, наpваться
доставать - беспокоить, задирать, приставать, придираться, раздражать, нудить, вызывать скуку, неприязнь.

доставучий

доставала, достача, достоевский - человек который всех достает, зануда.

2. найти, наковырять, надыбать, нарыть

Происхождение обоих этих значений вполне ясно. В первом случае можно представить себе, к примеру, мышь, которую достаёт кошка из её спокойной и безопасной норки. Доставала-доставала - и достала-таки, зараза!
Во втором случае можно взглянуть на ту же ситуацию с точки зрения кошки. Было непросто, но мы не ищем лёгких путей: постаралась - и опять-таки достала!

Хорошее слово, издавна богатое значениями. А теперь вот - и в Словаре молодёжного сленга. Ни одно из этих значений у Даля, у примеру, не зафиксировано.