Андерсен - через е или через э?

Мягкие согласные - отличительная черта именно русского языка.

Так что иностранные имена мы произносим без смягчения согласных перед е - по возможности так, как их произносят на иностранных языках. По крайней мере - звуки б, в, д, т, с, з, р, м.
Гёте, Вебер, Драйзер, Андерсен (и дэ, и сэ), Мериме.
А вот л, например, смягчается (Миллер).
И Крюгер, Хайдеггер - с мягким г.
Но это уже другая история...